量子力学（七）：其他常见的一维势

到目前为止我们已经介绍了两种典型的一维势：一维无限深方势阱以及一维谐振子。接下来我们介绍其他几种同样典型的一维势。

一维delta势阱

一维delta势，顾名思义，其势函数和delta函数有关，也即：

$$\delta(x)=\left\{\begin{aligned}&0,\;x\neq 0\\ &\infty ,\; x=0 \end{aligned} \right.$$ $$\int_{-\infty}^\infty \delta(x)dx=1$$

我们考虑这样一个delta势阱：

$$V(x)=-a\delta(x),\;a>0$$

在$x<0$ 时，我们有一维定态薛定谔方程：

$$-{\hbar\over 2m}{d^2\psi\over dx^2}=E\psi$$

我们考虑该势阱下的一个束缚态解。束缚态的定义是：当$|x|\to \infty$ 时，$|\psi(x)|^2dx\to 0$ ，即在无穷远处找到粒子的概率为$0$ ，而这就要求$E<V(\infty)$ 。在我们当下讨论的delta势中，则有

$$E<V(\infty)=0$$

那么我们令$k={\sqrt{-2mE}\over\hbar}$ ，得到关于$x$ 的微分方程：

$$k^2\psi^2={d^2\psi\over dx^2}$$

得到在$x<0$ 时，$\psi(x)$ 的形式

$$\psi(x)=Ae^{kx}+Be^{-kx}$$

考虑到$x\to -\infty,\;\psi(x)\to 0$ ，就应该有

$$\psi(x)=Ae^{kx}$$

类似地，在$x>0$ 时，我们就得到

$$\psi(x)=Ce^{-kx}$$

根据波函数的连续性条件，我们得到$A=C$ 。接下来我们就考虑处理delta势，即$x=0$ 时的情况。设一个很小很小的正数$\varepsilon>0$ ，我们对一维定态薛定谔方程两边积分：

$$\int_{-\varepsilon}^\varepsilon -{\hbar^2\over 2m} {d^2\psi\over dx^2}-a\delta(x)\psi(x)dx=\int_{-\varepsilon}^\varepsilon E\psi(x)dx\tag{1}$$

其中 $$\int_{-\varepsilon}^\varepsilon{d^2\psi\over dx^2}dx=\psi'(\varepsilon)-\psi'(-\varepsilon)=\psi'(0^+)-\psi(0^-)$$

而

$$\psi'(0^+)=(Ae^{-kx})'|_{x=0}=-kA$$ $$\psi(0^-)=(Ae^{kx})' |_{x=0}=kA$$

故

$$\int_{-\varepsilon}^\varepsilon{d^2\psi\over dx^2}dx=\psi'(0^+)-\psi(0^-)=-2kA$$ $$\int_{-\varepsilon}^\varepsilon a\delta(x)\psi(x)dx=a\psi(0)=aA$$ $$\tag{2}\int_{-\varepsilon}^\varepsilon E\psi(x)dx=0$$

其中式$(2)$ 是考虑到$E$ 和$\psi(x)$ 均为有限量，当$\varepsilon \to 0$ 时，自然有式$(2)$ 成立。

全部带入式$(1)$ 我们得到

$${k\hbar^2\over m}A-aA=0$$

得到$$k={ma\over \hbar^2}$$

又

$$k={\sqrt{-2mE}\over \hbar}$$

解得束缚态能量

$$E=-{m^2a^2\over 2\hbar^2}$$

归一化：

$$\begin{align*}\int_{-\infty}^\infty\psi(x)&=2\int_0^\infty |A|^2e^{-2kx}dx\\&=2|A|^2(-{1\over 2k})(e^{-2kx}|_{x\to\infty}-e^{-2kx}|_{x=0})\\&={|A|^2\over k}\\&=1\end{align*}$$

得到归一化常数 $A=\sqrt{k}={\sqrt{ma}\over\hbar}$

由此可以得到一维delta势阱的束缚态解：

$$\psi(x)=\left\{\begin{aligned}{\sqrt{ma}\over\hbar}e^{-kx},\;x>0\\ {\sqrt{ma}\over\hbar}e^{kx},\;x<0\end{aligned}\right.$$

其中$k={ma\over\hbar^2}$ 。

一维自由粒子

顾名思义，自由粒子就是不受任何势束缚的粒子，也即在全空间上均有：$$V(x)=0$$ 在这种情况下，粒子的束缚态解是不存在的，因此，我们采用类似于平面波的方式来描述它。我们还是从一维定态薛定谔方程出发：

$$-{\hbar\over 2m}{d^2\psi\over dx^2}=E\psi$$

在这里我们要讨论的情况和一维delta势有些许不同：在一维delta势中，我们通过考虑束缚态解，得到了$E<0$ 的限制条件；但在一维自由势中，如果$E<0$ ，那么在全空间中均有$E<V$ ，而这样的粒子是不能在空间中存在的；而在一维delta势中存在特殊的点，也即$x=0$ 处，使得粒子的能量不至于在全空间中都小于粒子的势能；尽管在$x=0$ 之外的所有地方仍然是$E<V$ ，也就是粒子的总能量小于其势能的情况出现，但是通过量子力学效应，我们让这个粒子得以存在。量子力学，很神奇吧。

换言之，此时我们应该考虑的是$E>0$ 的情况；并且我们一开始就已经说过，在自由势中粒子的束缚态是不存在的，因为根本就没有势来束缚它，所以我们设$k={\sqrt{2mE}\over \hbar}$ ，就得到

$${d^2\psi\over dx^2}=-k^2\psi$$

解得

$$\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$$

如果我们引入时间演化项$\varphi(t)=e^{-i{E\over\hbar}t}$ ，我们就可以得到：

$$\Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t)=Ae^{i(-{E\over\hbar}t+kx)}+Be^{i(-{E\over\hbar}t-kx)}$$

应该注意到这是非常类似于平面简谐波的表达式形式。一般地，我们认为$e^{ikx}$ 项是从左到右传播的波，相应地$e^{-ikx}$ 项表示从右往左传播的波。

一维势垒穿透

我们现在考虑这样一种情况：粒子从无穷远处，自左向右地传播；而在$x=0$ 处存在一个阶跃势垒：

$$V(x)=\left\{\begin{aligned}0,x<0\\V_0,x\geq 0\end{aligned}\right.$$

这个粒子波撞上势垒后，一部分反射回去，另一部分穿过势垒继续传播。方便起见，我们设入射波的强度为$1$ ，也即

$$\psi_1(x)=e^{ikx},\;x<0$$

其中$k={\sqrt{-2mE}\over \hbar}$ 。

把这个势和波函数画出来，大概会长这样：

这里画出的图例是波的能量$E>V_0$ 时的情况，我们暂且先讨论这种情况。

我们设反射波的波函数：

$$\psi_2(x)=Re^{-ikx},\;x<0$$

其中$R$ 为未定常数。

接下来我们考虑透射波的波函数形式。注意到在$x<0$ 处的波函数，我们可以直接套用一维自由粒子的解的形式$\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}$ ，并且由规定的传播方向直接得到解的形式。但在$x>0$ 处，由于阶跃势的存在，我们不能直接套用，而是要重新求解薛定谔方程。

我们首先写出$x>0$ 处，透射波满足的薛定谔方程：

$$-{\hbar^2\over 2m}{d^2\psi_3\over dx^2}+V_0\psi_3(x)=E\psi_3(x)$$

注意到$E>V_0$ ，我们不妨就设$\kappa={\sqrt{-2m(E-V_0)}\over \hbar}$

就得到$\psi_3=Se^{i\kappa x},\; x>0$ 。其中$S$ 为未定常数。

为计算未定常数$R$ 和$S$ ,我们需要考虑波函数的连续性条件（怎么又是你）。在$x=0$ 处，由

$$\psi(0^+)=\psi(0^-)$$ $$\psi'(0^+)=\psi'(0^-)$$

得到

$$1+R=S$$ $$ik-ikR=i\kappa S$$

可以解得

$$R={k-\kappa\over k+\kappa}$$ $$S={2k\over k+\kappa}$$

一般称$R$ 为反射系数，记反射率为$|R|^2=({k-\kappa\over k+\kappa})^2$ ，透射率为$1-|R|^2={4k\kappa\over(k+\kappa)^2}$ 。非常需要注意的是$|S|^2\neq 1-|R|^2$ ，也即不能记透射率为$|S|^2$ ，因为这里的反射率和透射率是以入射波为基准的。因此我们解得这个势的波函数为：

$$\psi(x)=\left\{ \begin{align*}e^{ikx}+Re^{-ikx},\;x<0\\ Se^{i\kappa x},\;x>0 \end{align*} \right.$$

接下来我们再讨论$E<V_0$ 的情况。同样的，在$x<0$ 时，我们仍然可以得到

$$\psi(x)=e^{ikx}+Re^{-ikx},\;x<0$$

但在$x>0$ 处，由于势的改变，我们得到解的形式有所不同：

$$\psi(x)=Se^{-\kappa x}$$

其中$\kappa={\sqrt{-2m(E-V_0)}\over \hbar}$这是一个实的指数函数，而非一个平面波的形式，可以预见，在$x>0$ 时，随着$x$ 的增大，在$xdx$ 附近找到粒子的概率将会迅速衰减，并且在$x\to \infty$ 时，找到粒子的概率为$0$ 。

继续带入波函数的连续性条件，在$x=0$ 处有：

$$1+R=S$$ $$ik-ikR=-S\kappa$$

解得

$$R={ik+\kappa\over ik-\kappa}$$ $$S={2ik\over ik-\kappa}$$

同样的，反射率为$|R|^2$ ，透射率为$1-|R|^2$ 。