量子力学（六）：一维谐振子的解析解

2024-07-23

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一维谐振子的解析解法

上次我们讲了一维谐振子的代数解法。然而如果我们需要计算特定某个能量本征态的形式，从基态开始一级级地推导显然不是很方便的一种形式，因此，今天我们来讲一维谐振子的解析解法。

为了方便计算我们仍然采用无量纲“坐标”形式表示的定态薛定谔方程，即 $\hat H\psi(X)={\hbar\omega\over 2}(-{d^2\over dX^2}+X^2)\psi(X)=E\psi(X)$

我们把能量也简化为无量纲的，令 $\varepsilon={2E\over \hbar\omega}$ ，从而得到

(-{d^2\over dX^2}+X^2)\psi(X)=\varepsilon\psi(X)\tag{1}

这是一个韦伯方程（Weber’s Equation）。当然本文无意探讨韦伯方程的解法，作为学物理的，宗旨就是能少做点数学就少做点。所以我们简单讨论一下这个方程的一些解析行为就好了。首先我们考虑 $\left|X\right|\to\infty$ 时方程的渐进行为，考虑到 $\varepsilon$ 是一个有限量，我们此时简化方程为

X^2\psi(X)={d^2\over dX^2}\psi(X),\;\left|X\right|\to\infty

瞪眼法解得 $\psi(X)=e^{-{X^2\over 2}}$ 。我们可以验证一下：

\psi(X)=e^{-{X^2\over 2}}

\psi'(X)=-Xe^{-{X^2\over 2}}

\psi''(X)=(X^2-1)e^{-{X^2\over 2}}

带入得

e^{-{X^2\over 2}}=0

显然在 $\left|X\right|\to\infty$ 时是满足的。

那么我们不妨设 $\psi(X)$ 在整个空间上表示为这样一个形式：

\psi(X)=H(X)\varphi(X)=H(X)e^{-{X^2\over 2}}

其中 $H(X)$ 我们考虑以幂级数的方式来表示它，也即：

H(X)=\sum_{k=0}^\infty a_kX^k

带入到 $(1)$ 式中我们得到

(-{d^2\over dX^2}+X^2)H(X)e^{-{X^2\over 2}}=\varepsilon H(X)e^{-{X^2\over 2}}

得到关于 $H(X)$ 的微分方程：

{d^2H(X)\over dX^2}-2X{dH(X)\over dX}+(\varepsilon-1)H(X)=0

带入 $H(X)$ 的幂级数形式：

{dH(X)\over dX}=\sum_{k=0}^\infty a_kkX^{k-1}

{d^2H(X)\over dX^2}=\sum_{k=0}^\infty a_kk(k-1)X^{k-2}=\sum_{k=0}^\infty a_{k+2}(k+2)(k+1)X^k

得到：

\sum_{k=0}^\infty a_{k+2}(k+2)(k+1)X^k-2X\sum_{k=0}^\infty a_kkX^{k-1}+(\varepsilon-1)\sum_{k=0}^\infty a_kX^k=0

也即

\sum_{k=0}^\infty((k+1)(k+2)a_{k+2}+(\varepsilon -1-2k)a_k)X^k=0

注意到上式成立， $iff\;\;\forall\;k,\; (k+1)(k+2)a_{k+2}+(\varepsilon -1-2k)a_k=0$ 。由此得到系数 $a_k$ 满足的一个递推关系：

a_{k+2}={2k+1-\varepsilon \over (k+1)(k+2)}a_k

我们希望 $H(X)$ 是一个有限项的多项式，而不是无限项的。因为我们的波函数表示为 $\psi(X)=H(X)e^{-{X^2\over 2}}$ ，我们希望 $|X|\to\infty,\;\psi(X)\to 0$ ，对于一个无穷多项的 $H(X)$ ，我们并不能保证它在 $|X|\to\infty$ 处的发散速度小于 $e^{-{X^2\over 2}}$ 的收敛速度。因而我们就令 $H(X)$ 在某一项之后，其所有项都为 $0$ 。观察其递推关系表达式，我们得知，欲使 $k+2$ 之后的所有项系数都为 $0$ ，只需

\varepsilon = 2k+1

注意到 $\varepsilon$ 是能量无量纲化之后的结果，所以这个解的物理意义就十分明显了：对应能级为 $k$ 的一维谐振子能量本征态。所以谐振子的本征能量允许值为 $E_k=({1\over 2}+k)\hbar\omega,\;k=0,1,2,...$ 。取任何其它的值都会出现 $H(X)$ 为无限项的多项式，这就不是一个合理的束缚态波函数了，我们可以看见这是非常符合量子力学对于量子化的基本思想的。

厄米多项式与一维谐振子解的递推关系

上述解中的 $H_k(X)$ 一般称为厄米多项式（Hermite Polynomials）。它由以下递推关系给出：

H_0(X)=1,\;H_1(X)=2X,\;H_{n+1}(X)=2XH_n(X)-2nH_{n-1}(X)

或者直接一点有：

H_n(X)=(-1)^ne^{x^2}{d^n\over dx^n}e^{-x^2}

不过这些不是很重要，了解一下就好。比较需要记的是一维谐振子解的表示形式：

\psi(X)=({m\omega\over\pi\hbar})^{1\over 4}{1\over\sqrt{2^n n!}}H_n(X)e^{-{1\over 2}X^2}

其中 $X=\sqrt{m\omega\over\hbar}x$ 。习惯上也记 $\alpha=\sqrt{m\omega\over\hbar}$ ，称 $\alpha^{-1}=\sqrt{\hbar\over m\omega}$ 为谐振子的特征长度。

同时，根据厄米多项式的递推性质，我们不难推导出一维谐振子解的一些递推性质。推导过程就不写了，有兴趣的可以自己动手算一算。以下是两个经常在实际应用中会使用到的递推性质：

x\psi_n(x)={1\over \alpha}(\sqrt{n\over2}\psi_{n-1}(x)+\sqrt{n+1\over 2}\psi_{n+1}(x))

{d\over dx}\psi_n(x)=\alpha(\sqrt{n\over2}\psi_{n-1}(x)-\sqrt{n+1\over 2}\psi_{n+1}(x))

注意这里给出的是简化过的关于 $x$ 的递推形式，而不是关于 $X$ 的。

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