量子力学（三）：一维无限深方势阱

一维无限深方势阱及其定态解

解的形式讨论

一维无限深方势阱的势函数$V(x)$ 为：$$V(x) =\left\{\begin{aligned}&0,\;0\leq x\leq a\\ &\infty,\;x<0\;or\; x>a\end{aligned}\right.$$

其中$a$ 也称为势阱宽。这个势函数画出来长这样：

我们可以将这个势阱想象成一个盒子，粒子是一个在盒子中反弹的乒乓球，而这个球无论如何都无法弹出盒子之外，因为这个一维盒子的两壁是无穷高的。用物理的话来讲，我们在势阱外找到粒子的概率为0，也即：$$\psi(x)=0,\;x<0\;or\;x>a$$

这也是非常符合正常人的物理直觉的。如果把$V=\infty$ 带入到定态薛定谔方程之中，我们也可以看到，除开$\psi(x)=0$ 以外我们并不能找到符合玻恩统计诠释的解。

而在势阱内，$V(x)=0$ ，带入到一维定态薛定谔方程之中：$$-{\hbar^2\over 2m}{d^2\psi\over d x^2}=E\psi(x)\quad(0\leq x\leq a)\tag{1}$$

注意到到势阱内的$V(x)=0$ ，又$E=T+V=T$ ，我们做一个比较符合正常人物理直觉的假设^[1]：设粒子动能$T>0$ ，就得到$E>0$ ；设$k={\sqrt{2mE}\over\hbar}$ ，那么得到式$(1)$ 的解的形式：$$\psi(x)=A\sin kx+B\cos kx$$

其中$A,\;B$为归一化常数。

波函数的连续性条件求定态解和解的归一化

为了得到具体的解的形式，我们考虑波函数的连续性条件：

1. 波函数在空间上是处处连续的;
2. 波函数在势不为无穷大处的一阶导数是连续的^[2]。

于是我们在$x=0$ 与$x=a$ 处得到$\psi(x)=0$ ，立即得到：$$B=0$$ $$A\sin{ka}=0,\; ka=n\pi\quad(n=1,2,3,...)$$

又$k={\sqrt{2mE}\over\hbar}$ ，故有$$E={(n\pi)^2\hbar^2\over 2ma^2},\;n=1,2,3,...$$

可见，一维无限深方势阱中，粒子的定态能量仅与势阱宽$a$ 有关；将$k={n\pi\over a}$ 带入$\psi(x)=A\sin{kx}$ 中，并考虑归一化条件：$$\int_0^a |A|^2\sin^2{kx}dx=1$$

得到归一化常数$A=\sqrt{2\over a}$ 。

由此我们得到在一维无限深方势阱中，能量本征态：$$\psi_n(x)=\sqrt{2\over a}\sin{{n\pi\over a}x},\;n=1,2,3,...$$

对应的本征能量为：$$E={(n\pi)^2\hbar^2\over 2ma^2},\;n=1,2,3,...$$

满足本征关系:$$\hat H\psi_n=E_n\psi_n$$