量子力学（二）：一维定态薛定谔方程及其物理意义、玻恩统计诠释

分离变量法推导一维定态薛定谔方程

上篇文章我们提到一维薛定谔方程：$$i\hbar{ \partial\over\partial t}\Psi(x,t)=({-{\hbar^2\over 2m}}{\partial^2\over\partial x^2}+V(x))\Psi(x,t)$$

接下来我们用分离变量法导出一维定态薛定谔方程，即不含时的一维薛定谔方程。

设：$$\Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t)$$

带入一维薛定谔方程得到：$$i\hbar\psi(x){ d \varphi(t)\over d t}={-{\hbar^2\over 2m}}{ d^2\psi(x)\over d x^2}\varphi(t)+V(x)\psi(x)\varphi(t)$$

两端除以$\psi(x)\varphi(t)$ 得到：$$i\hbar{1\over\varphi(t)}{ d\varphi(t)\over d t}={-{\hbar^2\over 2m}}{1\over\psi(x)}{ d^2\psi(x)\over d x^2}+V(x)$$

设上式等于不依赖于$x,\;t$ 的常数$E$ ，则得到$$i\hbar{ d\varphi(t)\over d t}=E\varphi(t) \tag{1}$$ $${-{\hbar^2\over 2m}}{ d^2\psi(x)\over dx^2}+ V(x)\psi(x)=E\psi(x)\tag{2}$$

式$(2)$即为定态薛定谔方程。其解的形式取决于势函数$V(x)$ 的具体形式，我们将很快介绍一些典型的一维势并给出其定态解。

算符的本征态与本征值

一般记哈密顿算符：$$\hat H={\hat p^2\over 2m}+V(x)={-{\hbar^2\over 2m}}{d^2\over dx^2}+V(x)$$不难发现，$\hat H=\hat T+\hat V$ ，也即$\hat H$ 为能量算符；而分离变量常数$E$ 即为定态能量。从而我们可以将定态薛定谔方程简写为：$$\hat H\psi(x)=E\psi(x)$$

更一般地，记算符$\hat Q$ ，任意量子态$\lambda$ ，如果将$\hat Q$ 作用在$\lambda$ 上得到常数$q$ ，而不使得量子态$\lambda$ 发生改变^[1]，也即满足：$$\hat Q\lambda=q\lambda$$则称该量子态$\lambda$ 为该算符$\hat Q$ 的一个本征态，而$q$ 则称为算符$\hat Q$ 对应本征态$\lambda$ 的本征值。

显然地，在定态薛定谔方程之中，$\psi(x)$ 是哈密顿算符$\hat H$ 的一个本征态，对应的本征值为$E$ 。习惯上也称$E$ 为本征能量，称$\psi(x)$ 为能量本征态。

时间演化项

式$(1)$ 容易得到解：$$\varphi(t)=e^{-i{E\over\hbar}t}$$

称为时间演化项。其物理意义为：对于任意已知的一维定态薛定谔方程解：$\psi(x)$ ，设当前时刻为$t=0$ ，我们可以得到以后任意时刻的一维含时薛定谔方程解：$\Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t)=\psi(x)e^{-i{E\over\hbar}t}$ ，由此可以便确定整个系统随时间的演化状态，问题就变为了求定态薛定谔方程的解$\psi(x)$ 。

玻恩统计诠释

薛定谔方程的解$\Psi(x)$ 是一个关于坐标$x$ 和时间$t$ 的函数，但我们还没有解释其物理意义。玻恩统计诠释认为：$\Psi(x,t)$ 表示，在$t$ 时刻，测量粒子的位置，得到粒子位于$x$ 处附近$dx$ 宽度内的概率为$|\Psi(x,t)|^2dx$ 。这里我们应该注意到，薛定谔方程是一个复数域的方程，所以对给定$x,\;t$ 的$\Psi(x,t)$ 值完全可以是一个复数，但概率应为实数，故取其模平方。同时我们还应该注意到，全空间上找到粒子的概率应当是$1$ ，所以我们要有：$$\int^\infty_{-\infty}|\Psi(x,t)|^2dx=1$$对任意$t$ 时刻均成立。但同时不难注意到：$$|\Psi(x,t)|^2=|\psi(x)\varphi(t)|^2=|\psi(x)|^2\varphi^*(t)\varphi(t)=|\psi(x)|^2e^{i{E\over\hbar}t}e^{-i{E\over\hbar}t}=|\psi(x)|^2$$

也即定态薛定谔方程解$\psi(x)$ 要满足：$$\int^\infty_{-\infty}|\psi(x)|^2=1$$

上式称波函数的归一化条件。因此我们在解得波函数$\psi'(x)$ 后，往往需要计算其是否是归一化了的。对未归一化的$\psi'(x)$ ，要设归一化常数$A$ ，使得$\psi(x)=A\psi'(x)$ 最终满足归一化条件。