量子力学（一）：一维薛定谔方程

论天才的思考过程。即使很有可能他当时不是这么想的，同样也有助于我们理解量子力学的物理意义。

阅读本文的前置知识为普通物理中波相关内容，以及早期量子化理论的相关内容。

一维薛定谔方程的推导

考虑一维平面简谐波的波函数：$$\Psi(x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$$

以及光子动量、能量满足的关系：$$E=h\nu=h{\omega\over{2\pi}}=\hbar\omega$$ $$p={h\over\lambda}={2\pi\hbar\over\lambda}=\hbar k$$

其中$k$为角波数，$\nu$为光子频率，$\omega=2\pi\nu$为光子角频率，$h$为普朗克常数，$\hbar={h\over2\pi}$为约化普朗克常数。

如果我们假设^[1]：

1. 微观粒子的物理态可以用波函数$\Psi$ 来表示；
2. 微观粒子的可观测物理量用算符表示。具体而言，我们以动量$p$ 为例，假设其用一个算符$\hat p$ 来表示，并且当我们将算符$\hat p$ 作用在波函数$\Psi$ 上面时，我们可以得到动量$p$ 的值，也即：$$\hat p\Psi=p\Psi$$

那么我们现在尝试将算符$\hat p$ 作用在$\Psi$ 上面，来得到$\hat p$ 的具体形式：$$\hat p\Psi(x,t)=p\Psi(x,t)=\hat p(Ae^{i(kx-\omega t)})=\hbar k(Ae^{i(kx-\omega t)})$$

那我们就得到$\hat p$ 的可能形式：$$\hat p=-i\hbar{\partial\over\partial x}$$

如果没看明白，不妨自己把上式和$p=\hbar k$ 分别带入两端验证一下。

与之类似地，我们设能量算符$\hat E$ 使得：$$\hat E\Psi(x,t) = E\Psi(x,t)=\hbar\omega\Psi(x,t)$$带入$\Psi(x,t)$的具体形式，同样对比得到：$$\hat E=i\hbar{\partial\over\partial t}$$

又$\hat E=\hat T+\hat V$ ，其中$\hat T={\hat p^2\over 2m}$ 为动能，$\hat V$ 为势能函数，把$\hat p,\; \hat E$ 具体形式带入到$\hat E\Psi(x,t)=(\hat T+\hat V)\Psi(x,t)$ 中，并且考虑在一维情况下，我们使势函数的形式为：$\hat V=V(x)$ ，我们就得到一维薛定谔方程：$$i\hbar{\partial\over\partial t}\Psi(x,t)=-{\hbar^2\over 2m}{\partial^2\over\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)$$