天体物理中的辐射机制

引言

其实标题应该叫“带电粒子在磁场中的辐射”，只是在学天体物理的时候学到了这部分内容而已。因为没有学过电动力学所以学起来甚是艰难，所以好容易学完了还是稍微写篇笔记吧。

Larmor方程

任意带电粒子在获得加速度时都会产生电磁波辐射^[1]。在非相对论条件下，以电子运动为例，我们有Larmor 方程：$$P={2\over3}\frac{e^2a^2}{c^3}$$上式为高斯单位制^[2]。

回旋辐射

运动方程

由Larmor 方程，我们便可以讨论非相对论电子在磁场中运动所产生的辐射。

不过首先我们先考虑电子的运动方程：$${d\vec{p}\over dt}={d\over dt}(m_0 \vec{v})=\vec{F_L}=-e\ {\vec{v}\over c}\times \vec{B} \tag{1}$$不妨假设$\vec{B}$ 方向为$z$ 轴正向，也即$\vec{B}=B\vec{e_z}$ 。我们有：$$m_0 \ddot x=-{e\over c}\dot yB,\ m_0\ddot y={e\over c}\dot x B,\ m_0 \ddot z = 0$$记Larmor 频率$\omega_L=\frac{eB}{m_0c}$ ，将上式中前两式对$t$ 求导并联立，我们得到$$\overset{...}{x}+\omega_L^2\dot x=0,\ \overset{...}{y}+\omega_L^2\dot y=0$$显然这个方程解的形式类似于下式：$$\dot x=Asin(\omega_L t)+Bcos(\omega_L t)$$实验表明，回旋辐射中粒子的运动轨迹是一条螺旋线，即其在$xoy$ 平面上的投影为一个圆。因此我们不妨将其解的形式写为：$$\dot x=v_{\perp}cos(\omega_L+\theta_0)$$ $$\dot y=v_\perp sin(\omega_L t+\theta_0)$$ $$\dot z=v_\parallel$$
其中$v_\perp、v_\parallel$ 分别表示粒子初速度$v$ 垂直与平行于磁场方向 $\vec{e_z}$方向的分量，$\theta_0$ 为初始相位。不难进一步得到：$$x={v_\perp \over \omega_L }sin(\omega_L t+\theta_0)+x_0$$

其中$(x_0,y_0,z_0)$ 为电子的初始位置。一般记Larmor 半径：$$r_L={v_\perp \over \omega_L}$$

回旋辐射的辐射功率

由上述的运动方程中的：$$m_0 \vec{a}=-{e \over c}\vec{v}\times \vec{B}$$以及前述的Larmor 方程：$$P={2\over 3}\frac{e^2a^2}{c^3}$$不难得到：$$P={2\over 3}\frac{e^4}{m_0^2c^5}|v|^2|B|^2sin^2\alpha$$其中$\alpha$ 为$\vec{v}$ 与 $\vec{B}$ 之间的夹角。显然，回旋辐射的功率与粒子速率大小以及磁场中磁感应强度很有关系。

同步加速辐射

运动方程

回旋加速描述的是非相对论电子在磁场中运动产生的辐射，而同步加速辐射描述的是相对论情况的电子在磁场中运动产生的辐射。仍然考虑式$1$ ：$${d\vec{p}\over dt}={d\over dt}(m_0 \vec{v})=\vec{F_L}=-e\ {\vec{v}\over c}\times \vec{B}\tag{1}$$但在相对论情况中，我们要有：$$\vec{p}=\gamma m_0\vec{v}$$其中$\gamma$ 为洛伦兹因子，即$\gamma={1 \over {\sqrt{1-{v^2\over c^2}}}}$ 。由于洛伦兹力不做功，电子的能量是保持不变的^[3]，我们考察电子能量关于时间的导数：$${d\over dt}(\gamma m_0 c^2)=0$$显然该式中$c$ 是时不变的，这不是纯废话是什么。而电子静质量$m_0$ 也显然是时不变的。又来一句纯废话。于是我们得知$\gamma$也是时不变的。此时式$1$ 就可以写成：$$m_0\gamma{d\vec{v}\over dt}=-{e\over c}\vec{v}\times \vec{B}$$

类似回旋辐射的推导，我们还是将$\vec{v}$ 拆分成平行与垂直磁场方向的两个分量。由矢量叉乘性质得到：$${d\vec{v_\parallel}\over dt}=0\tag{2}$$ $${d\vec{v_\perp}\over dt}=-{e \over(\gamma m_0c)}\vec{v_\perp}\times \vec{B}$$
注意式$2$ 表明$v_\parallel=const$ ，又$\gamma=const$ ，即$|v|=const$ ，故$v_\perp=const$ 。接下来的解就类似于回旋加速的解，只需设$\omega_B={eB\over \gamma m_0c}$ 即可得到，形式上与回旋辐射完全一致，只是频率中多了一个洛伦兹因子项$1\over \gamma$ 。显然在极端相对论情况下，同步加速辐射的频率也会大大降低。

辐射功率与辐射寿命

将Larmor 方程推广到相对论情形：$$P={2\over 3}{e^2\over m^2c^3}({dp\over d\tau})^2$$由此得到同步加速辐射的辐射功率：$$P={2\over 3}{e^4\over m_0^2c^5}\gamma^2v_\perp^2B^2$$相较于回旋辐射，同步加速辐射功率多了$\gamma^2$ 一项，这使得其在极端相对论条件下的辐射功率要远大于同步加速辐射。同样我们可以估计一个电子由于同步加速辐射失去大部分能量的时间，也即辐射寿命：$$t={\gamma m_0c^2\over P}$$ 这里我利用计算器半定量地计算了一下在 $10^{-4}T$的磁场中，速度为$0.99c$ 的一个电子的辐射寿命，可以看到约为$10^2$年；参阅李宗伟老师编著的《天体物理学》第二版（人民教育出版社）给出的蟹状星云中的电子辐射寿命约为20多年^[4]。作为学天体物理的我认为这算是一个足够好的结果了，至少我完全可以接受这样的解释；毕竟我都学天体了你让让我。