高斯单位制

引言

在刚开始接触到高斯单位制之时，笔者一直很难理解为什么要采用这么一套东西，SI 不是挺好用的么。不过经过学习还是理解了采用高斯单位制的好处所在。如果你不太理解高斯单位制的物理意义，不妨看看本文。

SI 单位制

SI 单位制中对安培的原定义 ^[1]为：真空中相距 $1m$ 的两根无限长、截面积可忽略的直导线，通入相同的强度的电流，使得其之间的相互作用力在 $1m$ 的导线长度上为 $2\times10^{-7} N$ 时，称通过这两根导线的电流为 $1A$ 。

换句话说，国际计量委员会通过真空中两根无限长平行直导线之间的单位长度相互作用： $$F = \frac{\mu_0}{2 \pi }\frac{I_1 I_2 L}{r}$$

定义了真空磁导率： $$\mu_0=4\pi \times 10^{-7}\ \frac{kg\cdot m}{A^2\cdot s^2}$$
并通过真空磁导率和真空介电常数的关系： $$\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}=c$$
推得 $\varepsilon_0=8.854187817\ F/m$ 。

进一步地，再通过安培定义了库仑和特斯拉：将$1s$ 中，在通入 $1A$ 电流强度的导线截面上通过的电荷量称为 $1C$ 。若将通有 $1A$ 电流强度的导线置入磁场之中，该导线每 $1m$ 长度上受到的力为 $1N$ 时，称此时磁场的磁感应强度为 $1T$ 。

乍看之下，SI 单位制似乎并没有什么问题，通过一个比较基本的电磁相互作用理想模型去定义了基本常数 $\mu_0$ ,再导出其他单位。但是我们不难注意到，首先，SI 单位制的常数不太好看。其次，电场和磁场作为物理本质是一样的东西，所具有的量纲居然不一样。 在量纲就代表物理意义的物理学家看来这种事情简直就是无法忍受的。再次，先定义了 $1A$ ,再转一圈定义 $1C$ ，最后反倒是库仑定律里的库仑离 $1N$ 比较远，不太符合正常人的物理直观。综上，我们需要另一套单位制，以便更好地统一磁场和电场的量纲。 同时在数学和物理上都尽可能做到优雅。

高斯单位制

有鉴于此，首先为了修改常数不够好看的问题 ^[2]，高斯单位制直接令库仑定律为: $$F=\frac{q_1 q_2}{r^2}$$
相当于直接使 $\varepsilon_0=4\pi$ ，注意这是一个无量纲常数。而这很明显使得电荷的量纲变为了： $$1C_{Gauss}=1(N\cdot m^2)^{\frac{1}{2}}=1(\frac{kg\cdot m^3}{s^2})^\frac{1}{2}$$
由此，通过库仑定律直接建立了电荷量和力学量的关系 ^[3]，相当于直接使用力的大小表征电荷量的多少，这对于实验物理学家们来说无疑是非常友好的，毕竟力是很容易可以测量得到的。然后再通过关系： $$\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=c$$
得到 $$\mu_0=\frac{4\pi}{c^2}$$
至少在数学上来说好看得多了。

由此我们就已经达成了把电荷量同力学量更好地联系起来和数学上的优雅两大目标。接下来要考虑如何统一电场和磁场的量纲。我们注意到洛伦兹力公式： $$\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}\ (SI)$$ 以及电场力公式： $$\vec{F}=q\vec{E}$$
就不妨使 $$B_{Gauss}=cB_{SI}$$
反正 $c$ 终究是个常数，乘上除掉都无伤大雅。

从而得到 $$\vec{F}=q(\vec{E}+\frac{\vec{v}}{c}\times{\vec{B}})$$
这样就统一了电场与磁场的量纲。